复利

我们可以通过减少复利的时间间隔，来达到利息的最大化. (PS: 有上限)

Transclude of 2a6gDHfWQGA-人生中最重要的概念-复利-是什么-想贷款和分期就必须要了解它；李永乐老师讲自然对数的底e#source

自然对数的底 / 欧拉数 e

假设有这样一个式子

\begin{align} (1 + \frac{1}{n} )^n = x \tag{1} \end{align}

• 当 $n=1$ 时, $x=2$
• 当 $n\to \infty$ 时，得到 $x=e=\mathrm{2.718281828459045...}$ 即 $e={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$

泰勒展开: $e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$

复利

单利即一年到头结算利息。而多利则将一年分为多次结算利息。即我们可以得到一个公式:

\begin{align} PV \times ( 1 + \frac{r}{n} ) ^ n = FV \tag{2} \end{align}

$PV(PresentValue)$ 为初值

$r$ 为名义利率

$n$ 为期数

$FV(FutureValue)$ 为终值

则我们假设有 100 的本金，银行说明具有 $10\%$ 的利率

月复利 $(n=12)$: $100\times (1+\frac{0.1}{12}{)}^{12}=110.47$

日复利 $(n=365)$: $100\times (1+\frac{0.1}{365}{)}^{356}=110.51$

连续复利 ($n\to \infty$), 此时 $(2)$ 后半部分 $(1+\frac{r}{n}{)}^n=e^r$, 存在上限.

后记: 我们可以将 周期内的固定 利率/回报率 定义为 $i(interest)$, 则 $(2)$ 将简化为:

\begin{align} PV \times ( 1 + i ) ^ n = FV \tag{3} \end{align}

从而得到回报率公式

\begin{align} \sqrt[n]{ ( \frac{FV}{PV} ) } - 1 \tag{4} \end{align}